Ожидаемое значение чего-либо — это усредненный числовой исход от возможных исходов, взвешенных по их вероятности. Ожидаемого значения может не быть среди реально получаемых вариантов — например, если бросок монетки решает, получите вы 0 руб. или 10 руб., то мы говорим, что вы получите «5 руб. в ожидании», даже если варианта получить именно 5 руб. у вас нет.

Ожидание $V$ (или «математическое ожидание $V$», или часто просто «ожидаемое $V$») — это то, как много $V$ вы в среднем ожидаете получить. К примеру, ожидание выплаты, или ожидаемая выплата — это то, сколько денег вы в среднем получите; ожидание длительности речи, или ожидаемая длительность — это то, как долго “в среднем” речь будет длиться.

Пусть $V$ имеет дискретные возможные значения, скажем $V = x_1$, или $V = x_2$, …, или $V = x_k$. Пусть $P(x_i)$ — это вероятность того, что $V=x_i$. Тогда ожидание $V$ вычисляется следующим образом:

$$\sum\limits_{i=1}^{k} x_i P(x_i)$$

Пусть $V$ имеет непрерывные возможные значения $x$. К примеру, $x\in\mathbb{R}$. Пусть $P(x)$ — плотность непрерывного распределения вероятности, или предел $\lim\limits_{dx \to 0}$ вероятности того, что $x < V < (x+dx)$, поделенной на $dx$. Тогда ожидание $V$ вычисляется следующим образом:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} xP(x)dx$$

Важность

Общий принцип рассуждений в условиях неопределенности заключается в том, что если вы пытаетесь получить некое хорошее $G$, то вы должны действовать так, чтобы максимизировать ожидание $G$.